조건 만족 부분집합 개수

[출제의도] 부분집합의 원소의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 조건 (가)에서 $A \cup X = X$이므로 집합 $A$는 집합 $X$의 부분집합이다. 즉, $\mathit{A} \subset X$이다. 그러므로 집합 $A$의 두 원소 $1$과 $2$는 집합 $X$의 원소이다. 또, 두 집합 $\mathrm{\mathit{A}}$와 $\mathrm{\mathit{B}}$에서 $A = \left\{ 1 , 2 \right\}$이고 $B = \left\{ 2 , 3 , 5 , 7 \right\}$이므로 $B - A = \left\{ 3 , 5 , 7 \right\}$ 조건 (나)에서 $\left( B - A \right) \cap X = \left\{ 5 , 7 \right\}$이므로 $\left\{ 3 , 5 , 7 \right\} \cap X = \left\{ 5 , 7 \right\}$ 따라서 $5 , 7 \in \mathit{X}$, $3 \notin \mathit{X}$ 그러므로 $1$, $2$, $5$, $7$은 반드시 집합 $X$에 속해야 하고 $3$은 속하지 않아야 한다. 그런데 전체집합 $U = \left\{ \mathit{x} | 1 \leq x \leq 12 , x \text{는} \text{자연수} \right\}$의 원소의 개수는 $12$이다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 집합 $X$의 개수는 $2 ^{12 - 4 - 1} = 2 ^{7} = 128$이다.