확률과 통계순열과 조합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

조건 있는 일대일대응

문제

집합 A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 \}에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족하는 함수 f:A→Af : A \rightarrow A의 개수를 구하시오. [4점]

(가) 함수 ff는 일대일 대응 (나) f(1)=7f ( 1 ) = 7 (다) k≥2k \geq 2이면 f(k)≤kf ( k ) \leq k

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해설

f(1)=7f ( 1 ) = 7이고, 함수 ff는 일대일 대응이므로 X={2, 3, 4, 5, 6, 7}에서 Y={1, 2, 3, 4, 5, 6}으로의 일대일 대응의 개수를 구하면 된다. k≥2k \geq 2이면 f(k)≤kf ( k ) \leq k 이므로 각 경우를 구해 보면 2에 대응되는 수는 1 또는 2 중에 하나를 선택하는 경우이므로 2C1{} _{2} C _{1} 3에 대응되는 수는 3보다 작거나 같은 수 중에서 2에 대응되는 수를 제외한 나머지 두 개의 숫자에서 한 개를 선택해야 하므로 2C1{} _{2} C _{1} 마찬가지로 4, 5, 6인 경우를 생각하면 각각의 경우의 수는 모두 2C1{} _{2} C _{1}가지이고, 7에 대응되는 수는 1～6에 대응된 수를 제외한 수(한 개)이다. 이 때, 위의 사건이 동시에 일어나므로 구하는 경우의 수는 2×2×2×2×2=32(가지)

태그

#함수의개수#일대일대응

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