조건 있는 함수의 개수

[출제의도] 중복순열 이해하기 함수 $f : X \rightarrow Y$의 개수는 $f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) , f ( 4 ) , f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수와 같다. (ⅰ) $x \leq 3$일 때 $x \times f ( x ) \leq 10$을 만족시키는 $f ( x )$의 값은 $1$또는 $2$또는 $3$이다. $f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 )$의 값을 정하는 경우의 수는 서로 다른 $3$개에서 $3$개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 $\displaystyle {}_{3} \mathrm{\prod} _{3} = 3 ^{3} = 27$ (ⅱ) $x \geq 4$일 때 $x \times f ( x ) \leq 10$을 만족시키는 $f ( x )$의 값은 $1$또는 $2$이다. $f ( 4 ) , f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수는 서로 다른 $2$개에서 $2$개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 $\displaystyle {}_{2} \mathrm{\prod} _{2} = 2 ^{2} = 4$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 함수 $f$의 개수는 $27 \times 4 = 108$