조건 함수 개수

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-순열과 조합 조건 (가)에서 $f ( 1 ) \leq f ( 4 )$이므로 조건 (나)에서 $f ( 1 ) = 1 , f ( 4 ) = 6$ 또는 $f ( 1 ) = 2 , f ( 4 ) = 3$이다. (ⅰ) $f ( 1 ) = 1 , f ( 4 ) = 6$일 때 조건 (가)에서 $1 = f ( 1 ) \leq f ( 2 ) \leq f ( 3 ) \leq f ( 4 ) = 6$이고 $f ( 5 ) , f ( 6 ) , f ( 7 )$의 값이 될 수 있는 것은 중복을 하락하여 6, 7중의 하나이므로 함수 $f$의 개수는 ${} _{6} H _{2} \times _{2} \Pi _{3} = _{6 + 2 - 1} C _{2} \times 2 ^{3} = _{7} C _{2} \times 8$$= 168$ (ⅱ) $f ( 1 ) = 2 , f ( 4 ) = 3$일 때 조건 (가)에서 $2 = f ( 1 ) \leq f ( 2 ) \leq f ( 3 ) \leq f ( 4 ) = 3$이고 $f ( 5 ) , f ( 6 ) , f ( 7 )$의 값이 될 수 있는 것은 중복을 하락하여 3, 4, 5, 6, 7중의 하나이므로 함수 $f$의 개수는 ${} _{2} H _{2} \times _{5} \Pi _{3} = _{2 + 2 - 1} C _{2} \times 5 ^{3} = _{3} C _{2} \times 125$$= 375$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 함수 $f$의 개수는 $168 + 375 = 543$