미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

짝수항·3의 배수항 등비급수

문제

등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞a2n=2,∑n=1∞a3n=67\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{2 n} = 2 , \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{3 n} = \frac{6}{7}일 때, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공비는? [3점] ①16\displaystyle \frac{1}{6}②15\displaystyle \frac{1}{5}③14\displaystyle \frac{1}{4}④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤12\displaystyle \frac{1}{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 무한등비급수 이해하기 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항을 aa, 공비를 rr이라 할 때, ∑n=1∞a2n=ar1−r2=2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{2 n} = \frac{ar}{1 - r ^{2}} = 2에서 ar1−r=2(1+r)\displaystyle \frac{ar}{1 - r} = 2 ( 1 + r ) ∑n=1∞a3n=ar21−r3=ar×r(1−r)(1+r+r2)=67\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{3 n} = \frac{ar ^{2}}{1 - r ^{3}} = \frac{ar \times r}{( 1 - r ) ( 1 + r + r ^{2} )} = \frac{6}{7} 2r(1+r)1+r+r2=67\displaystyle \frac{2 r \left( 1 + r \right)}{1 + r + r ^{2}} = \frac{6}{7} ∴\thereforer=12\displaystyle r = \frac{1}{2} (∵−1<r<1\because - 1 < r < 1)

태그

#등비급수

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