짝수·약수 집합 조건

$n ( A ) \times n \left( ( A \cup B ) ^{C} \right) = 15$에서 $n ( A )$는 $\mathrm{15}$의 양의 약수이다. (ⅰ) $n ( A ) = 1$일 때 $A = \left\{ 2 \right\}$이므로 $k = 2$ 또는 $k = 3$ $k = 2$이면 $U = \left\{ 1 , 2 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 2 \right\}$에서 $\left( A \cup B \right) ^{C} = \emptyset$, $n \left( \left( A \cup B \right) ^{C} \right) = 0$이므로 조건을 만족시키지 않는다. $k = 3$이면 $U = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 3 \right\}$에서 $\left( A \cup B \right) ^{C} = \emptyset$, $n \left( \left( A \cup B \right) ^{C} \right) = 0$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $n ( A ) = 3$일 때 $A = \left\{ 2 , 4 , 6 \right\}$이므로 $k = 6$ 또는 $k = 7$ $k = 6$이면 $U = \left\{ 1 , 2 , 3 , \cdots , 6 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 2 , 3 , 6 \right\}$에서 $( A \cup B ) ^{C} = \left\{ 5 \right\}$, $n \left( ( A \cup B ) ^{C} \right) = 1$이므로 조건을 만족시키지 않는다. $k = 7$이면 $U = \left\{ 1 , 2 , 3 , \cdots , 7 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 7 \right\}$에서 $\left( A \cup B \right) ^{C} = \left\{ 3 , 5 \right\}$, $n \left( \left( A \cup B \right) ^{C} \right) = 2$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅲ) $n ( A ) = 5$일 때 $A = \left\{ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 \right\}$이므로 $k = 10$ 또는 $k = 11$ $k = 10$이면 $U = \left\{ 1 , 2 , 3 , \cdots , 10 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 2 , 5 , 10 \right\}$에서 $\left( A \cup B \right) ^{C} = \left\{ 3 , 7 , 9 \right\}$, $n \left( \left( A \cup B \right) ^{C} \right) = 3$이므로 조건을 만족시킨다. $k = 11$이면 $U = \left\{ 1 , 2 , 3 , \cdots , 11 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 11 \right\}$에서 $( A \cup B ) ^{C} = \left\{ 3 , 5 , 7 , 9 \right\}$, $n \left( \left( A \cup B \right) ^{C} \right) = 4$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅳ) $n ( A ) = 15$일 때 $A = \left\{ 2 , 4 , 6 , \cdots , 30 \right\}$이므로 $k = 30$ 또는 $k = 31$ $k = 30$이면 $U = \left\{ 1 , 2 , 3 , \cdots , 30 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 \right\}$에서 $( A \cup B ) ^{C} = \left\{ 7 , 9 , 11 , 13 , 17 , 19 , 21 , 23 , 25 , 27 , 29 \right\}$, $n \left( ( A \cup B ) ^{C} \right) = 11$이므로 조건을 만족시키지 않는다. $k = 31$이면 $U = \left\{ 1 , 2 , 3 , \cdots , 31 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 31 \right\}$에서 $( A \cup B ) ^{C} = \left\{ 3 , 5 , 7 , \cdots , 29 \right\}$, $n \left( ( A \cup B ) ^{C} \right) = 14$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에서 두 집합 $A$, $B$가 조건을 만족시키도록 하는 $k$는 $k = 10$이고 $U = \left\{ 1 , 2 , 3 , \cdots , 10 \right\}$, $A = \left\{ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 2 , 5 , 10 \right\}$, $( A \cup B ) ^{C} = \left\{ 3 , 7 , 9 \right\}$이므로 집합 $( A \cup B ) ^{C} = \left\{ 3 , 7 , 9 \right\}$의 모든 원소의 곱은 $3 \times 7 \times 9 = 189$