지수와 로그함수의 미분

[출제의도] 로그함수의 미분 이해하기 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow e} {\frac{f \left( x \right) - g \left( x \right)}{x - e}} = 0$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow e} {\left( x - e \right)} = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow e} {\left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\}} = 0$ 두 함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$가 $x = e$에서 연속이므로 $f \left( e \right) = g \left( e \right)$ $\displaystyle a ^{e} = 2 \log _{b} e = \frac{2}{\ln b}$ $\cdots$ ㉠ $f' \left( x \right) = a ^{x} \ln a$, $\displaystyle g' \left( x \right) = \frac{2}{x \ln b}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow e} {\frac{f \left( x \right) - g \left( x \right)}{x - e}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow e} {\frac{\left\{ f \left( x \right) - f \left( e \right) \right\} - \left\{ g \left( x \right) - g \left( e \right) \right\}}{x - e}}$ $= f' \left( e \right) - g' \left( e \right)$ $\displaystyle = a ^{e} \ln a - \frac{2}{e \ln b} = 0$ ㉠에 의하여 $\displaystyle a ^{e} \ln a - \frac{a ^{e}}{e} = 0$에서 $\displaystyle \ln a = \frac{1}{e}$ $\displaystyle a = e ^{\frac{1}{e}}$, $\displaystyle b = e ^{\frac{2}{e}}$ 따라서 $\displaystyle a \times b = e ^{\frac{3}{e}}$