대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수의 부분분수 합

문제

Pn=31n(n+1)\displaystyle P _{n} = 3 ^{\frac{1}{n ( n + 1 )}}에 대하여 P1×P2×P3×⋯×P2010=3kP _{1} \times P _{2} \times P _{3} \times \cdots \times P _{2010} = 3 ^{k}일 때, 상수 kk의 값은? (단, nn은 자연수이다.) [3점] ①20092010\displaystyle \frac{2009}{2010}②20102011\displaystyle \frac{2010}{2011}③11④20112010\displaystyle \frac{2011}{2010}⑤20102009\displaystyle \frac{2010}{2009}

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②

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해설

[출제의도]지수법칙을 이용해 식을 간단히 하기 31n(n+1)=31n−1n+1\displaystyle 3 ^{\frac{1}{n ( n + 1 )}} = 3 ^{\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}}이므로 P1×P2×P3×⋯×P2010P _{1} \times P _{2} \times P _{3} \times \cdots \times P _{2010} =3(1−12)+(12−13)+⋯+(12010−12011)\displaystyle = 3 ^{\left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2010} - \frac{1}{2011} \right)} =31−12011=320102011\displaystyle = 3 ^{1 - \frac{1}{2011}} = 3 ^{\frac{2010}{2011}}이다. 따라서, k=20102011\displaystyle k = \frac{2010}{2011}이다.

태그

#부분분수#지수법칙

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