지수로그 연립방정식

[출제의도] 지수방정식과 로그방정식을 활용하여 문제해결하기 $\log _{2} ( x - 2 ) - \log _{2} y = 1$에서 $\displaystyle \log _{2} \frac{x - 2}{y} = 1$ $\displaystyle \frac{x - 2}{y} = 2$, $2 y = x - 2$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $2 ^{x} - 2 \cdot 4 ^{- y} = 7$에서 $2 ^{x} - 2 \cdot 2 ^{- 2 y} = 7$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에서 $\left( 2 ^{x} \right) ^{2} - 7 \cdot 2 ^{x} - 8 = 0$ $2 ^{x} = t$($t > 0$)라 하면 $t ^{2} - 7 t - 8 = 0$ $( t + 1 ) ( t - 8 ) = 0$, $t = 8$($\because$ $t > 0$) $2 ^{x} = 8$이므로 $x = 3$, ㉠에 대입하면 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$ 따라서 $\alpha = 3$, $\displaystyle \beta = \frac{1}{2}$이므로 $10 \alpha \beta = 15$