대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수로그 그래프와 등비수열

문제

〔11～12〕 그림은 세 함수 ${{y = 2 ^{x}}}$ , $\displaystyle {y = \log _{\frac{1}{2}} x}$ , ${y = x}$ 의 그래프와 ${a < 0 < b < c < d}$ 인 네 실수 ${a}$ , ${b}$ , ${c}$ , ${d}$ 의 관계를 나타낸 것이다. 11번과 12번의 두 물음에 답하시오. (단, 점선은 모두 좌표축에 평행하다.)

$y = 2 ^{x}$ $\displaystyle y = \log _{\frac{1}{2}} x$

세 수 $b$ , $2 c$ , $5 d$ 가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, $a$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ② $\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ③ $- 1$ ④ $\displaystyle - \frac{\sqrt{5}}{2}$ ⑤ $\displaystyle - \frac{\sqrt{6}}{2}$

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④

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[출제의도] 등비수열 이해하기 $\displaystyle \log _{\frac{1}{2}} d = a$ , $\displaystyle d = \left( \frac{1}{2} \right) ^{a}$ $\cdots \cdots$ ㉠ $2 ^{c} = d$ $\cdots \cdots$ ㉡㉠과 ㉡에 의하여 $c = - a$ $\cdots \cdots$ ㉢ $\displaystyle \log _{\frac{1}{2}} b = c$ , $\displaystyle b = \left( \frac{1}{2} \right) ^{c}$ $\cdots \cdots$ ㉣㉠과 ㉣에 의하여 $\displaystyle bd = \left( \frac{1}{2} \right) ^{a + c} = 1$ $\cdots \cdots$ ㉤ $b , 2 c , 5 d$ 가 이 순서대로 등비수열이므로 $4 c ^{2} = 5 bd = 5$ ㉢에 의하여 $\displaystyle a ^{2} = c ^{2} = \frac{5}{4}$ $\left( a < 0 \right)$ $\therefore$ $\displaystyle a = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

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