지수꼴 수열의 극한

$\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 ^{n} + a ^{n + 1}}{3 ^{n + 1} + a ^{n}} = a}$에서 $a > 3$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a ^{n} + b ^{n + 1}}{a ^{n + 1} + b ^{n}} = \frac{9}{a}}$에서 (ⅰ) $a > b$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a ^{n} + b ^{n + 1}}{a ^{n + 1} + b ^{n}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1 + b \left( \frac{b}{a} \right) ^{n}}{a + \left( \frac{b}{a} \right) ^{n}}}$$\displaystyle = \frac{1}{a}$ $\displaystyle \frac{1}{a} \ne \frac{9}{a}$이므로 조건을 만족하지 않는다. (ⅱ) $a = b$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a ^{n} + b ^{n + 1}}{a ^{n + 1} + b ^{n}}}$$= 1$ $\displaystyle 1 = \frac{9}{a}$에서 $a = 9$, $b = 9$ (ⅲ) $a < b$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a ^{n} + b ^{n + 1}}{a ^{n + 1} + b ^{n}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( \frac{a}{b} \right) ^{n} + b}{a \left( \frac{b}{a} \right) ^{n} + 1} = b}$ $\displaystyle b = \frac{9}{a}$에서 $ab = 9$이고 $a > 3$이므로 $a < b$는 가정에 모순이다. 이상에서 $a = 9$, $b = 9$이므로 $a + b = 9 + 9 = 18$