지수꼴 수열의 극한

$\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{5 a ^{2 n} + \left( 2 a \right) ^{n + 1}}{a ^{2 n} + \left( 2 a \right) ^{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{5 + 2 a \times \left( \frac{2}{a} \right) ^{n}}{1 + \left( \frac{2}{a} \right) ^{n}}$ (ⅰ) $a > 2$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{2}{a} \right) ^{n} = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{5 a ^{2 n} + \left( 2 a \right) ^{n + 1}}{a ^{2 n} + \left( 2 a \right) ^{n}} = 5$ $5 = a + 1$에서 $a = 4$ (ⅱ) $a = 2$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{2}{a} \right) ^{n} = 1$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{5 a ^{2 n} + \left( 2 a \right) ^{n + 1}}{a ^{2 n} + \left( 2 a \right) ^{n}} = \frac{9}{2}$ 이므로 $a = 2$는 조건을 만족시키지 못한다. (ⅲ) $a = 1$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{5 a ^{2 n} + \left( 2 a \right) ^{n + 1}}{a ^{2 n} + \left( 2 a \right) ^{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{5 + 2 ^{n + 1}}{1 + 2 ^{n}} = 2$ $2 = 1 + 1$이므로 $a = 1$은 조건을 만족시킨다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $a = 1$ 또는 $a = 4$이므로 조건을 만족시키는 모든 자연수 $a$의 값의 합은 $5$