미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

지수꼴 수열의 극한

문제

limn53n+12n+13n+2n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{5 \cdot 3 ^{n + 1} - 2 _{} ^{n + 1}}{3 ^{n} + 2 ^{n}}}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

limn53n+12n+13n+2n\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{5 \cdot 3 ^{n+1} - 2 ^{n+1}}{3 ^{n} + 2 ^{n}}=limn53n+13n2n+13n3n3n+2n3n\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{5 \cdot 3 ^{n+1}}{3 ^{n}} - \frac{2 ^{n+1}}{3 ^{n}}}{\frac{3 ^{n}}{3 ^{n}} + \frac{2 ^{n}}{3 ^{n}}} =limn532(23)n1+(23)n\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{5 \cdot 3 - 2 \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}}{1 + \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}}=5301+0=15\displaystyle = \frac{5 \cdot 3 - 0}{1 + 0} = 15

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