지수함수와 삼각형

곡선 $y = a ^{x}$과 두 직선 $x = t$, $x = 2 t$가 만나는 점이 각각 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$이므로 두 점의 좌표는 ${\mathrm{A}} \left( t , a ^{t} \right)$, ${\mathrm{B}} \left( 2 t , a ^{2 t} \right)$ 점 ${\mathrm{B}}$에서 $x$축에 내린 수선의 발이 ${\mathrm{C}}$이므로 점 ${\mathrm{C}}$의 좌표는 ${\mathrm{C}} \left( 2 t , 0 \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AC}}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2}$이므로 $\left( 2 t - t \right) ^{2} + \left( a ^{2 t} - a ^{t} \right) ^{2} = \left( 2 t - t \right) ^{2} + \left( 0 - a ^{t} \right) ^{2}$ $t ^{2} + \left( a ^{2 t} - a ^{t} \right) ^{2} = t ^{2} + \left( a ^{t} \right) ^{2}$, $\left( a ^{2 t} - a ^{t} \right) ^{2} = a ^{2 t}$ $a ^{4 t} - 2 a ^{3 t} + a ^{2 t} = a ^{2 t}$, $a ^{4 t} - 2 a ^{3 t} = 0$ $\therefore$ $a ^{3 t} \left( a ^{t} - 2 \right) = 0$ 이때 $a > 1$, $t > 0$이므로 $a ^{3 t} > 0$ 따라서 $a ^{t} - 2 = 0$이므로 $a ^{t} = 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 한편 삼각형 ${\mathrm{ACB}}$는 밑변이 선분 ${\mathrm{BC}}$이고 높이가 점 ${\mathrm{A}}$와 직선 $x = 2 t$ 사이의 거리인 삼각형이다. 이때 삼각형 ${\mathrm{ACB}}$의 넓이는 밑변의 길이가 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}}$, 즉 $a ^{2 t}$이고, 높이는 $2 t - t = t$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times t = 8$, $\displaystyle \frac{1}{2} \times a ^{2 t} \times t = 8$ $t \cdot a ^{2 t} = 16$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 $4 t = 16$ $\therefore$ $t = 4$ $t = 4$를 ㉠에 대입하면 $a ^{4} = 2$ $\displaystyle \therefore a = 2 ^{\frac{1}{4}}$ $\therefore$ $a \times t$$\displaystyle = 2 ^{\frac{1}{4}} \times 4$$\displaystyle = 2 ^{\frac{1}{4}} \times 2 ^{2}$$\displaystyle = 2 ^{\frac{9}{4}}$