지수함수와 직선 교점 보기

${\mathrm{P}} ( k , a ^{k} ) , {\mathrm{Q}} ( k , a ^{2 k} ) , {\mathrm{R}} ( k , k )$라 하면 $k = 2$일 때 $a ^{2 k} = k$이므로 $a ^{4} = 2$ ∴ $\displaystyle a = \sqrt[4]{2}$ (∵ $a > 1$) ∴ $\displaystyle a ^{x} = 2 ^{\frac{x}{4}}$, $\displaystyle a ^{2 x} = 2 ^{\frac{x}{2}}$ ㄱ. $k = 4$이면 $\displaystyle \left( \sqrt[4]{2} \right) ^{8} = 4$이므로 $a ^{2 k} = k$이다. 따라서 점 $\mathrm{Q}$와 점 $\mathrm{R}$는 일치한다. (참) ㄴ. $\displaystyle \overline{\mathrm{P} Q} = \left| 2 ^{\frac{k}{2}} - 2 ^{\frac{k}{4}} \right| = 12$이다. 이때 $\displaystyle 2 ^{\frac{k}{4}} = t ( t > 0 )$라 하면 $t ^{2} - t = 12$ 또는 $t ^{2} - t = - 12$이다. i) $t ^{2} - t = 12$인 경우 $( t - 4 ) ( t + 3 ) = 0$에서 $t > 0$이므로 $t = 4$ ∴ $\displaystyle 2 ^{\frac{k}{4}} = 4$ ∴ $\displaystyle \frac{k}{4} = 2$ ∴ $k = 8$ ii) $t ^{2} - t = - 12$인 경우 $t ^{2} - t + 12 = 0$의 판별식이 음수이므로 $t > 0$ 조건을 만족시키는 실수 $t$가 존재하지 않는다. 따라서, $k$도 존재하지 않는다. i), ii)에 의하여 $k = 8$이므로 ${\mathrm{Q}} ( 8 , 16 )$, ${\mathrm{R}} ( 8 , 8 )$ ∴ $\displaystyle \overline{\mathrm{Q} R} = 8$ (참) ㄷ. $\displaystyle \overline{\mathrm{P} Q} = \left| 2 ^{\frac{k}{2}} - 2 ^{\frac{k}{4}} \right|$에서 $\displaystyle 2 ^{\frac{k}{4}} = t$($t > 0$)라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{P} Q} = | t ^{2} - t |$이다. 이때 $\displaystyle y = \left| t ^{2} - t \right| = \left| \left( t - \frac{1}{2} \right) ^{2} - \frac{1}{4} \right|$의 그래프는 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \frac{1}{8}$을 만족시키는 양의 실수 $t$의 값은 3개이므로 실수 $k$의 값도 $3$개이다. (거짓)