지수함수의 극한

[출제의도] 지수함수의 극한값을 구할 수 있는가 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{2 ^{ax + b} - 8}{2 ^{bx} - 1} = 16$에서 $x \rightarrow 0$일 때, (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. 이때 함수 $2 ^{ax + b} - 8$은 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \left( 2 ^{ax + b} - 8 \right)$$= 2 ^{b} - 8 = 0$ $2 ^{b} = 8$ $b = 3$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{2 ^{ax + 3} - 8}{2 ^{3 x} - 1}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{8 \left( 2 ^{ax} - 1 \right)}{2 ^{3 x} - 1}$$\displaystyle = \frac{8 a}{3} {\times} \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{\frac{2 ^{ax} - 1}{ax}}{\frac{2 ^{3 x} - 1}{3 x}}$ $\displaystyle = \frac{8 a}{3} {\times} \frac{\ln 2}{\ln 2}$$\displaystyle = \frac{8 a}{3}$ 이므로 $\displaystyle \frac{8 a}{3} = 16$에서 $a = 6$ 따라서 $a + b = 6 + 3 = 9$