대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 연립 조건

문제

함수 $f ( x ) = 2 ^{-x}$ 에 대하여 $f ( 2 a )$ $f ( b ) = 4 , f ( a - b ) = 2$ 일 때, $2 ^{3a} + 2 ^{3b}$ 의 값은 $\displaystyle \frac{q}{p}$ 이다. $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ , $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [3점]

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해설

$f ( 2 a ) f ( b ) = 4$ , $f ( a - b ) = 2$ 에서 $2 ^{-2a} \cdot 2 ^{-b} = 2 ^{2}$ , $2 ^{-(a-b)} = 2 ^{1}$ 이므로 $\therefore 2 a + b = - 2$ $a - b = - 1$ $\therefore 3 a = - 3$ $\therefore a = - 1$ $b = 0$ $\displaystyle \therefore 2 ^{3a} + 2 ^{3b} = \frac{1}{8} + 1 = \frac{9}{8}$ $\therefore p + q = 17$

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