미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 선분 길이 극한

문제

자연수 nn에 대하여 두 지수함수 y=5x,y=3xy = 5 ^{x} , y = 3 ^{x}의 그래프와 직선 x=nx = n과의 교점을 각각 Pn,QnP _{n} , \mathrm{Q} _{n}이라 하자. 이때, lim⁡n→∞Pn+1Qn+1‾PnQn‾\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\overline{\mathrm{P} _{n+1} \mathrm{Q} _{n+1}}}{\overline{\mathrm{P} _{n} \mathrm{Q} _{n}}} 의 값은? [3점] ①1②2③3④4⑤5

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⑤

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해설

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하고 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. lim⁡n→∞Pn+1Qn+1‾PnQn‾\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\overline{\mathrm{P} _{n+1} \mathrm{Q} _{n+1}}}{\overline{\mathrm{P} _{n} \mathrm{Q} _{n}}}=lim⁡n→∞5n+1−3n+15n−3n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{5 ^{n+1} - 3 ^{n+1}}{5 ^{n} - 3 ^{n}}=5= 5

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#수열의 극한#지수함수

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