지수함수 정삼각형

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 조건을 만족하는 점의 좌표를 구한다. 직선 $x = 3$이 두 곡선과 만나는 점은 각각 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{3} , \left( \sqrt{3} \right) ^{3} \right)$, $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \mathit{3} , - \left( \sqrt{3} \right) ^{3} \right)$이므로 ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = 2 \left( \sqrt{3} \right) ^{3} = 6 \sqrt{3}$ 삼각형 $\mathrm{PQT}$는 한 변의 길이가 $\displaystyle 6 \sqrt{3}$인 정삼각형이다. 점 $\mathrm{M} ( 3 , 0 )$, 삼각형 $\mathrm{PQT}$의 무게중심을 $\mathrm{G}$라 할 때, $\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} = \mathrm{\overline{QM}}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} \perp \overline{MT}$이므로 $\mathrm{G}$는 $x$축 위에 있다.

한편, $\displaystyle \mathrm{\overline{MT}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \overline{PQ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 \sqrt{3} = 9$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{MG}} = \frac{1}{3} \times \overline{MT} = \frac{1}{3} \times 9 = 3$ 따라서 무게중심 $\mathrm{G}$의 $x$좌표는 $3 + 3 = 6$이다.