대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 교점 조건

문제

두 지수함수 $f ( x ) = 4 ^{x}$ , $g ( x ) = 3 \cdot 2 ^{x + 1} - k$ 의 그래프가 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 에서 만난다. 두 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 $x$ 좌표를 각각 $a , b$ 라 할 때, $ab < 0$ 을 만족시키는 모든 자연수 $k$ 의 값의 합을 구하시오. [4점]

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[출제의도] 지수함수의 성질 이해하기 $a , b$ $( a < b )$ 는 방정식 $4 ^{x} = 3 \cdot 2 ^{x + 1} - k$ 의 근이므로 $2 ^{x} = t$ ( $t > 0$ )이라 하면 $t ^{2} - 6 t + k = 0$ 의 두 근 $2 ^{a}$ , $2 ^{b}$ 은 $0 < 2 ^{a} < 1 < 2 ^{b}$ $h ( t ) = t ^{2} - 6 t + k$ 라 하면 $h ( 0 ) = k > 0$ , $h ( 1 ) = k - 5 < 0$ 따라서 $0 < k < 5$ 그러므로 만족하는 모든 자연수 $k$ 의 값의 합은 $10$

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