대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 그래프 점

문제

그림과 같이 $0 < a < b < 1$ 인 두 실수 $a , b$ 에 대하여 곡선 $y = a ^{x}$ 위의 두 점 $\mathrm{A} , B$ 의 $x$ 좌표는 각각 $\displaystyle \frac{b}{4} , a$ 이고, 곡선 $y = b ^{x}$ 위의 두 점 $\mathrm{C} , D$ 의 $x$ 좌표는 각각 $b , 1$ 이다. 두 선분 $\mathrm{AC}$ 와 $\mathrm{BD}$ 가 모두 $x$ 축과 평행할 때, $a ^{2} + b ^{2}$ 의 값은?

[3점] ① $\displaystyle \frac{7}{16}$ ② $\displaystyle \frac{1}{2}$ ③ $\displaystyle \frac{9}{16}$ ④ $\displaystyle \frac{5}{8}$ ⑤ $\displaystyle \frac{11}{16}$

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③

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해설

점 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{C}$ 의 $y$ 좌표가 일치하므로 $\displaystyle a ^{\frac{b}{4}} = b ^{b}$ ∴ $\displaystyle a ^{\frac{1}{4}} = b$ (∵ $b \ne 0$ ) ⋯⋯ ㉠ 점 $\mathrm{B}$ 와 $\mathrm{D}$ 의 $y$ 좌표가 일치하므로 $a ^{a} = b$ ⋯⋯ ㉡㉠, ㉡에서 $\displaystyle a ^{a} = a ^{\frac{1}{4}}$ $a \ne 1$ 이므로 $\displaystyle a = \frac{1}{4}$ ⋯⋯ ㉢㉢을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle b = \left( \frac{1}{4} \right) ^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ∴ $a ^{2} + b ^{2}$ $\displaystyle = \left( \frac{1}{4} \right) ^{2} + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) ^{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{16} + \frac{1}{2}$ $\displaystyle = \frac{9}{16}$

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