지수함수 치역의 정수

함수 $y = 2 ^{x + a} + b$는 증가함수이고, 함수 $y = 2 ^{x + a} + b$의 그래프의 점근선은 $y = b$이다. $f \left( - 8 \right) = b + 2 ^{a - 8}$

함수 $y = - 3 ^{x - 3} + 8$는 감소함수이고, 함수 $y = - 3 ^{x - 3} + 8$의 그래프의 점근선은 $y = 8$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 8 +} {} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow - 8 +} {} \left( - 3 ^{x - 3} + 8 \right) = 8 - 3 ^{- 11}$ $\therefore$ $\displaystyle 7 < \lim\limits _{x \rightarrow - 8 +} {} f \left( x \right) < 8$ $\cdots$$\cdots$ ㉠

집합 $\left\{ f \left( x \right) | x \leq k \right\}$의 원소 중에서 정수인 것의 개수가 $2$인 실수 $k$의 값의 범위는 $3 \leq k < 4$이다. $\cdots$$\cdots$ ㉡ $f \left( 3 \right) = 7$, $f \left( 4 \right) = 5$ 이때, $k \ne 4$이므로 $3 \leq k < 4$일 때, 집합 $\left\{ f \left( x \right) | x \leq k \right\}$에서 $5 \notin \left\{ f \left( x \right) | x \leq k \right\}$ $3 < x < 4$에서 $f \left( x \right) = 6$인 실수 $x$는 오직 하나이다. $f \left( \alpha \right) = 6 \left( 3 < \alpha < 4 \right)$ 이라 하자. $f \left( 3 \right) = 7$, $f \left( \alpha \right) = 6 \left( 3 < \alpha < 4 \right)$이므로 $3 \leq k < 4$일 때 집합 $\left\{ f \left( x \right) | x \leq k \right\}$에서 $\left\{ 6 , 7 \right\} \subset \left\{ f \left( x \right) | x \leq k \right\}$ ㉡에서 $k$의 최솟값이 $3$이고, $f \left( 3 \right) = 7$이므로 $x < 3$인 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right)$의 값이 정수인 것은 $6$뿐이다. ㉠에 의하여 $- 8 < x < 3$에서 $7 < f \left( x \right) < 8$이므로 $x \leq - 8$에서 $f \left( x \right) = 6$인 실수 $x$가 존재한다. $x \leq - 8$에서 $f \left( x \right)$가 정수인 것은 $6$ 뿐이고, 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 점근선은 $y = b$이므로 $b + 1 = 6$ $\therefore$ $b = 5$ $6 \leq f \left( - 8 \right) < 7$, $6 \leq b + 2 ^{a - 8} < 7$ $6 \leq b + 2 ^{a - 8} < 7$에서 $6 \leq 5 + 2 ^{a - 8} < 7$, $1 \leq 2 ^{a - 8} < 2$ $0 \leq a - 8 < 1$이므로 $a = 8$이다. $\therefore$ $a + b = 13$