지수곡선과 삼각형 넓이

두 곡선 $\displaystyle y = 2 ^{x} + \frac{k}{2}$, $\displaystyle y = k \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{x} + k - 2$의 교점을 $\mathrm{A}$라 하면 $\displaystyle 2 ^{x} + \frac{k}{2} = k \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{x} + k - 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $2 ^{x} = t$라 하면 $\displaystyle t + \frac{k}{2} = \frac{k}{t} + k - 2$, $\displaystyle t ^{2} + \left( 2 - k \right) t + \frac{k}{2} t - k = 0$ $\left( 2 t - k \right) \left( t + 2 \right) = 0$ $t > 0$이므로 $\displaystyle t = \frac{k}{2}$ $2 ^{x} = t$이므로 $\displaystyle 2 ^{x} = \frac{k}{2}$ $\therefore$ $x = \log _{2} k - 1$ $\therefore$ $\mathrm{A} \mathit{\left( \log _{2} k - 1 , k \right)}$ 점 $\mathrm{A}$를 지나고 기울기가 $- 1$인 직선의 방정식은 $y = - \left( x - \log _{2} k + 1 \right) + k$$= - x + \log _{2} k + k - 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 한편 ㉠에서 양변에 $2$를 곱하면 $\displaystyle 2 ^{x+1} + k = k \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{x-1} + 2 \left( k - 2 \right)$ $\displaystyle 2 ^{x+1} = k \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{x-1} + k - 4$ 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 두 곡선 $y = 2 ^{x+1}$, $\displaystyle y = k \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{x-1} + k - 4$ 의 교점의 $x$좌표와 같다. 곡선 $y = 2 ^{x-2} - 3$은 $y = 2 ^{x+1}$을 $x$축의 방향으로 $3$만큼, $y$축의 방향으로 $- 3$만큼 평행이동한 것이다. 따라서 이 두 곡선의 교점을 $x$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 것이 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표와 같다. $\log _{2} k - 1 + 3 = \log _{2} k + 2$ 에서 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $\log _{2} k + 2$이고 이 점이 직선 ㉡ 위의 점이므로 $\therefore$ $\mathrm{B} \mathit{\left( \log _{2} k + 2 , k - 3 \right)}$ 직선 $y = - x + \log _{2} k + k - 1$의 $y$절편이 $\log _{2} k + k - 1$이므로 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 넓이를 구하면 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( \log _{2} k + k - 1 \right) \times \left\{ \log _{2} k + 2 - \left( \log _{2} k - 1 \right\} \right.$ $\displaystyle = \frac{3}{2} \times \left( \log _{2} k + k - 1 \right)$ 에서 $\displaystyle \frac{3}{2} \left( \log _{2} k + k - 1 \right) = 16$ $\displaystyle \log _{2} k + k = \frac{35}{3}$ $\therefore$ $p = 3$, $q = 35$ $\therefore$ $p + q = 38$ [다른 풀이] 두 곡선 $\displaystyle y = 2 ^{x} + \frac{k}{2}$, $\displaystyle y = k \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{x} + k - 2$의 교점을 $\mathrm{A}$라 하면 $\displaystyle 2 ^{x} + \frac{k}{2} = k \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{x} + k - 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $2 ^{x} = t$라 하면 $\displaystyle t + \frac{k}{2} = \frac{k}{t} + k - 2$, $\displaystyle t ^{2} + \left( 2 - k \right) t + \frac{k}{2} t - k = 0$ $\left( 2 t - k \right) \left( t + 2 \right) = 0$ $t > 0$이므로 $\displaystyle t = \frac{k}{2}$ $2 ^{x} = t$이므로 $\displaystyle 2 ^{x} = \frac{k}{2}$ $\therefore$ $x = \log _{2} k - 1$ $\therefore$ $\mathrm{A} \mathit{\left( \log _{2} k - 1 , k \right)}$ 점 $\mathrm{A}$를 지나고 기울기가 $- 1$인 직선의 방정식은 $y = - \left( x - \log _{2} k + 1 \right) + k$$= - x + \log _{2} k + k - 1$ 이 직선과 곡선 $y = 2 ^{x-2} - 3$의 교점의 $x$좌표를 $m$이라 하면 $2 ^{m-2} - 3 = - m + \log _{2} k + k - 1$ $\displaystyle \frac{2 ^{m-2} - \log _{2} k}{\left( m - 2 \right) - k} = - 1$ 두 점 $\left( m - 2 , 2 ^{m-2} \right)$, $\left( k , \log _{2} k \right)$를 지나는 직선의 기울기가 $- 1$이다. 점 $\left( m - 2 , 2 ^{m-2} \right)$는 곡선 $y = 2 ^{x}$ 위의 점이고 $\left( k , \log _{2} k \right)$는 곡선 $y = \log _{2} x$ 위의 점이므로 두 점은 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. $m - 2 = \log _{2} k$ $\therefore$ $m = \log _{2} k + 2$ 따라서 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\left( \log _{2} k + 2 , k - 3 \right)$ 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 넓이를 구하면 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( \log _{2} k + k - 1 \right) \times \left\{ \log _{2} k + 2 - \left( \log _{2} k - 1 \right) \right\}$ $\displaystyle = \frac{3}{2} \times \left( \log _{2} k + k - 1 \right)$ 에서 $\displaystyle \frac{3}{2} \left( \log _{2} k + k - 1 \right) = 16$ $\displaystyle \log _{2} k + k = \frac{35}{3}$ $\therefore$ $p = 3$, $q = 35$ $\therefore$ $p + q = 38$