지수곡선과 포물선 교점

[출제의도] 지수함수의 그래프와 이차함수의 그래프를 이용하여 주어진 부등식의 참, 거짓을 판별할 수 있는가? $f ( x ) = 2 ^{x}$, $g ( x ) = - 2 x ^{2} + 2$로 놓으면 두 함수 $y = f ( x ) , y = g ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

ㄱ. $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{2}$, $\displaystyle g \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2}$이므로 $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) < g \left( \frac{1}{2} \right)$

즉, $\displaystyle x _{2} > \frac{1}{2}$이다.(참) ㄴ. 두 점 $\left( x _{1} , y _{1} \right)$, $\left( x _{2} , y _{2} \right)$를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$이고, 두 점 $\left( 0 , 1 \right) , \left( 1 , 2 \right)$를 지나는 직선의 기울기는 $1$

두 점 $\left( x _{1} , y _{1} \right)$, $\left( x _{2} , y _{2} \right)$를 지나는 직선의 기울기가 $1$ 보다 작으므로 $\displaystyle \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} < 1$에서 ∴ $y _{2} - y _{1} < x _{2} - x _{1}$(참) ㄷ. $\displaystyle f ( - 1 ) = \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle y _{1} > \frac{1}{2}$$\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle y _{2} > \sqrt{2}$ 즉, $\displaystyle y _{1} y _{2} > \frac{1}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$……㉠ 또, 그림과 같이 이차함수 $y = g ( x )$의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이므로 $- x _{1} > x _{2}$이다.

즉 $x _{1} + x _{2} < 0$이때, $y _{1} = 2 ^{x _{1}} , y _{2} = 2 ^{x _{2}}$이므로 $y _{1} y _{2} = 2 ^{x _{1}} \times 2 ^{x _{2}}$$= 2 ^{x _{1} + x _{2}}$$< 2 ^{0} = 1$…… ㉡ ㉠, ㉡에서 ∴ $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} < y _{1} y _{2} < 1$(참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.