지수곡선과 포물선 교점

[출제의도] 지수함수의 그래프의 성질을 이용하여 명제의 참, 거짓을 판단할 수 있는가? 두 곡선 $y = 2 ^{x}$과 $y = - 2 x ^{2} + 2$가 만나는 두 점 $( x _{1} , y _{1} )$, $( x _{2} , y _{2} )$는 그림과 같다.

ㄱ. $0 < x < x _{2}$ 에서 $- 2 x ^{2} + 2 > 2 ^{x}$ $x _{2} < x < 1$ 에서 $- 2 x ^{2} + 2 < 2 ^{x}$ 이고 $\displaystyle x = \frac{1}{2}$일 때, $\displaystyle - 2 \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + 2 = \frac{3}{2}$ $\displaystyle x = \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle 2 ^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ 이므로 $\displaystyle \frac{3}{2} > \sqrt{2}$ 따라서, $\displaystyle \frac{1}{2} < x _{2}$ 이다.(참) ㄴ. 위의 그림에서 두 점 $( 0 , 1 )$, $( x _{2} , y _{2)}$를 잇는 직선의 기울기는 1보다 작으므로 $\displaystyle \frac{y _{2} - 1}{x _{2}} < 1$, $y _{2} - 1 < x _{2}$…㉠ 두 점 $( 0 , 1 ) , ( x _{1} , y _{1} )$을 잇는 직선의 기울기는 1보다 작으므로 $\displaystyle \frac{y _{1} - 1}{x _{1}} < 1$, $y _{1} - 1 > x _{1}$, $x _{1} < y _{1} - 1$…㉡ ㉠,㉡의 두 식을 더하면 $x _{1} + y _{2} - 1 < x _{2} + y _{1} - 1$ $x _{1} + y _{2} < x _{2} + y _{1}$ $y _{2} - y _{1} < x _{2} - x _{1}$(참) ㄷ. ㄱ과 같은 방법으로 생각하면 $\displaystyle x _{1} < - \frac{1}{2}$ 즉, $\displaystyle - 1 < x _{1} < - \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{1}{2} < x _{2} < 1$ 이므로 $\displaystyle - \frac{1}{2} < x _{1} + x _{2} < \frac{1}{2}$ 그런데, $y _{2} - y _{1} = 2 ^{x _{2}} - 2 ^{x _{1}}$$= ( - 2 x _{2} ^{2} + 2 ) - ( - 2 x _{1} ^{2} + 2 )$ $= 2 ( x _{1} - x _{2} ) ( x _{1} + x _{2} ) > 0$ 이므로 $x _{1} + x _{2} < 0$ 이어야 한다. 따라서, $\displaystyle - \frac{1}{2} < x _{1} + x _{2} < 0$ 이고 $y _{1} y _{2} = 2 ^{x _{1}} \times 2 ^{x _{2}}$$= 2 ^{x _{1} + x _{2}}$ 에서 밑이 1보다 크므로 $\displaystyle 2 ^{- \frac{1}{2}} < y _{1} y _{2} < 2 ^{0}$ $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} < y _{1} y _{2} < 1$(참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.