대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수곡선 삼각형 넓이 합

문제

그림과 같이 곡선 $y = 2 ^{x}$ 과 두 직선 $y = k$ , $y = k + 1$ 의 교점을 각각 ${\mathrm{A}} _{k} , {\mathrm{A}} _{k + 1}$ 이라 하자. 점 ${\mathrm{A}} _{k}$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선과 직선 $y = k + 1$ 이 만나는 점을 ${\mathrm{P}} \mathit{\mathrm{_{k}}}$ 라 하고, 세 점 ${\mathrm{A}} \mathit{_{k}}$ , ${\mathrm{A}} \mathit{_{k + 1}}$ , ${\mathrm{P}} \mathit{_{k}}$ 를 연결한 삼각형의 넓이를 $S _{k}$ 라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{7} S _{k}$ 의 값은? [4점]

① $1$ ② $\displaystyle \frac{3}{2}$ ③ $2$ ④ $\displaystyle \frac{5}{2}$ ⑤ $3$

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②

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해설

$\displaystyle S _{k} = \frac{1}{2} \left\{ \log _{2} ( k + 1 ) - \log _{2} k \right\}$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{7} S _{k}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( \log _{2} 2 + \log _{2} 3 - \log _{2} 2 + \cdots + \log _{2} 8 - \log _{2} 7 )$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \log _{2} 8$ $\displaystyle = \frac{3}{2}$

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