지수곡선 직선 기울기

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하고, 직선의 기울기를 구한다. $n = 3$일 때, 점 $\mathrm{A} _{3}$이 함수 $f ( x ) = 2 ^{x}$위에 있으므로 $\mathrm{A} _{\mathit{3}} ( \mathit{\log} _{2} 3 , 3 )$ 점 $\mathrm{B} _{3}$의 좌표를 $( b , 3 )$이라고 하면 $y = 2 ^{x - 1}$위에 있으므로 $2 ^{b - 1} = 3$ $b - 1 = \log _{2} 3$이므로 $b = \log _{2} 3 + 1 = \log _{2} ( 3 \times 2 ) = \log _{2} 6$ 즉, $\mathrm{B} _{3} ( \mathit{\log} _{2} 6 , 3 )$이다. 그리고 점 $\mathrm{C} _{3}$의 좌표를 $( \log _{2} 6 , c )$라고 하면 점 $\mathrm{C} _{3}$$( \log _{2} 6 , c )$이 곡선 $y = 2 ^{x}$위에 있으므로 $c = 2 ^{\log _{2} 6} = 6$ 따라서 $\mathrm{C} _{3} ( \mathit{\log} _{2} 6 , 6 )$이므로 직선 $\mathrm{A} _{\mathit{3}} C _{3}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{6 - 3}{\log _{2} 6 - \log _{2} 3}$$\displaystyle = \frac{3}{\log _{2} \frac{6}{3}}$$\displaystyle = \frac{3}{\log _{2} 2}$$= 3$ [다른 풀이] 곡선 $y = 2 ^{x - 1}$은 곡선 $y = 2 ^{x}$을 $x$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동시킨 것이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{3} B _{3}}} = 1$ 점 $\mathrm{B} _{3}$의 $x$좌표와 점 $\mathrm{C} _{3}$의 $y$좌표를 각각 $a$, $b$라 하면 $2 ^{a - 1} = 3$이므로 $b = 2 ^{a}$$= 2 \cdot 2 ^{a - 1}$$= 2 \times 3$$= 6$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{3} C _{3}}}$$= 6 - 3$$= 3$이므로 직선 $\mathrm{A _{3} C _{3}}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{3}{1} = 3$이다.