지수곡선 교점 보기

ㄱ. $x = - 1$을 대입하면 $\left| a ^{0} - 1 \right| = 0$ (참) ㄴ. $x < \mathit{-} 1$인 곳에서는 교점이 반드시 생긴다. $x > 0$인 곳에서 교점을 조사해 보면, $a ^{x} = 1 - a ^{x - 1}$, $a ^{x} + a ^{- x - 1} = 1$ 이때 산술 기하 평균에서 $\displaystyle a ^{x} + a ^{- x - 1} \geq 2 \sqrt{a ^{- 1}}$이므로 $a = 4$일 때 등호 성립조건에 부합한다. 따라서 $4 ^{x} = 4 ^{- x - 1}$ 즉, $\displaystyle x = - \frac{1}{2}$에서 접한다. 그러므로 두 점에서 만난다. (참) ㄷ. $x < - 1$에서의 교점은 $- 2$보다 크고 $- 1$보다 작다. $x > - 1$에서의 교점은 $a ^{x} = 1 - a ^{x - 1}$을 풀어보면 $\displaystyle t = 1 - \frac{1}{a {t}}$ ($\because$ $a ^{x} = t$로 치환) 즉, $at ^{2} - at + 1 = 0$ 이때 $\displaystyle a ^{\alpha} \times a ^{\beta} = \frac{1}{a} = a ^{- 1}$이므로 두 근의 합은 $- 1$이다. 따라서 모든 교점의 합은 $- 3$과 $- 2$사이이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.