대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수곡선 기울기

문제

※ 두 곡선 $y = 4 ^{x} , y = 2 ^{x}$ 과 $y$ 축 위의 점 $\mathrm{P}$ $( 0 , a )$ ( $a > 1$ )가 있다. 점 $\mathrm{P}$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 두 곡선 $y = 4 ^{x} , y = 2 ^{x}$ 과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A} , B$ 라 하자. 또, 점 $\mathrm{B}$ 를 지나고 $y$ 축과 평행한 직선이 곡선 $y = 4 ^{x}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하고, 점 $\mathrm{C}$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 곡선 $y = 2 ^{x}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{D}$ 라 하자. 다음 두 물음에 답하시오.

$a = 2$ 일 때, 직선 $\mathrm{AD}$ 의 기울기는? [3점]

① $1$ ② $\displaystyle \frac{7}{6}$ ③ $\displaystyle \frac{4}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{3}{2}$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{3}$

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③

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해설

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 직선의 기울기를 구한다. $2 = 4 ^{x}$ 에서 $\displaystyle x = \log _{4} 2 = \frac{1}{2}$ 이므로 점 $\mathrm{A}$ 의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2} , 2 \right)$ $2 = 2 ^{x}$ 에서 $x = 1$ 이므로 점 $\mathrm{B}$ 의 좌표는 $\mathrm{B} ( 1 , 2 )$ $\mathrm{C}$ 의 $y$ 좌표는 $y = 4 ^{1} = 4$ 이므로 $\mathrm{C} ( 1 , 4 )$ $4 = 2 ^{x}$ 에서 $x = 2$ 이므로 점 $\mathrm{D}$ 의 좌표는 $\mathrm{D} ( 2 , 4 )$ 따라서 직선 $\mathrm{AD}$ 의 기울기는 $\displaystyle \frac{4 - 2}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}$

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