공통수학2직선의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수부등식과 점에서 직선까지 거리

문제

부등식 1010≤2x5y10 ^{10} \leq 2 ^{x} 5 ^{y}을 만족시키는 양의 실수 xx, yy에 대하여 x2+y2x ^{2} + y ^{2}의 최솟값을 mm이라 할 때, mm의 정수 부분을 구하여라. (단, log⁡2=0.3\log 2 = 0.3, log⁡5=0.7\log 5 = 0.7로 계산한다.) [4점]

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해설

1010≤2x5y10 ^{10} \leq 2 ^{x} 5 ^{y}에서 10≤0.3x+0.7y10 \leq 0.3 x + 0.7 y, 즉 3x+7y≥1003 x + 7 y \geq 100 원점에서 3x+7y=1003 x + 7 y = 100에 이르는 거리에서 x2+y2≥100232+72\displaystyle x ^{2} + y ^{2} \geq \frac{100 ^{2}}{3 ^{2} + 7 ^{2}}=1000058\displaystyle = \frac{10000}{58}=172.41⋯= 172.41 \cdots 따라서 최솟값의 정수부분은 172172 이다.

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