대수수열의 합수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

지수부등식 수열 합

문제

자연수 nn에 대하여 부등식 4k−(2n+4n)2k+8n≤14 ^{k} - \left( 2 ^{n} + 4 ^{n} \right) 2 ^{k} + 8 ^{n} \leq 1을 만족시키는 모든 자연수 kk의 합을 ana _{n}이라 하자. ∑n=1201an=qp\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{20} \frac{1}{a _{n}} = \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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103103

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해설

(2k)2−(2n+4n)2k+8n=(2k−2n)(2k−22n)≤1( 2 ^{k} ) ^{2} - ( 2 ^{n} + 4 ^{n} ) 2 ^{k} + 8 ^{n} = ( 2 ^{k} - 2 ^{n} ) ( 2 ^{k} - 2 ^{2 n} ) \leq 1 ∴n≤k≤2n\therefore n \leq k \leq 2 n ∑k=12nk−∑k=1n−1k=2n(2n+1)2−(n−1)n2=32n(n+1)=an\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{2 n} k - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} k = \frac{2 n ( 2 n + 1 )}{2} - \frac{( n - 1 ) n}{2} = \frac{3}{2} n ( n + 1 ) = a _{n} ∑n=1201a=23∑n=1201n(n+1)=23∑n=120(1n−1n−1)=4063\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} \frac{1}{a} = \frac{2}{3} \sum\limits _{n = 1} ^{20} \frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{2}{3} \sum\limits _{n = 1} ^{20} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n - 1} \right) = \frac{40}{63} ∴103\therefore 103

태그

#지수부등식#부분분수

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