대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수부등식 순서쌍

문제

부등식 (2−1)m≥(3−22)5−n\displaystyle \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{m} \geq \left( 3 - 2 \sqrt{2} \right) ^{5 - n} 을 만족시키는 자연수 m,nm , n의 모든 순서쌍 (m,n)\left( m , n \right)의 개수는? [4점] ①1717②1818③1919④2020⑤2121

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해설

[출제의도] 지수함수가 포함된 부등식 문제 해결하기 p=2−1\displaystyle p = \sqrt{2} - 1이라 하면 p2=3−22\displaystyle p ^{2} = 3 - 2 \sqrt{2}이고 (p2)5−n=p10−2n\left( p ^{2} \right) ^{5 - n} = p ^{10 - 2 n}이므로 pm≥p10−2np ^{m} \geq p ^{10 - 2 n}이다. 0<p<10 < p < 1이므로 m≤10−2nm {\leq} 10 - 2 n이다. (ⅰ) n=1n = 1일 때, 1≤m≤81 {\leq} m {\leq} 8 (ⅱ) n=2n = 2일 때, 1≤m≤61 {\leq} m {\leq} 6 (ⅲ) n=3n = 3일 때, 1≤m≤41 {\leq} m {\leq} 4 (ⅳ) n=4n = 4일 때, 1≤m≤21 {\leq} m {\leq} 2 (ⅴ) n≥5n {\geq} 5일 때, 부등식을 만족시키는 자연수 mm은 존재하지 않는다. 따라서 부등식을 만족시키는 자연수 m,nm , n의 모든 순서쌍 (m,n)\left( m , n \right)의 개수는 8+6+4+2=208 + 6 + 4 + 2 = 20

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#지수부등식#순서쌍

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