지수 연립방정식

[출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 연립방정식 $\displaystyle {\begin{pmatrix} a + 1 & - 1 \\ 1 & - \frac{b}{3} \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 2 ^{x} \\ 3 ^{y} \end{pmatrix}} = \left( \begin{array}{l} {\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}} \end{array} \right)$에서 $2 ^{x} \ne 0 , 3 ^{y} \ne 0$이므로 이 연립방정식이 해를 갖기 위해서는 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} a + 1 & - 1 \\ 1 & - \frac{b}{3} \end{pmatrix}}$의 역행렬이 존재하지 않아야 한다. 따라서 $b ( a + 1 ) = 3$ 이때 $\displaystyle \frac{3 ^{y}}{2 ^{x}} = a + 1 > 0$ 이므로 정수 $a , b$의 순서쌍 $( a , b )$는 $( 0 , 3 )$, $( 2 , 1 )$ 그러므로 $ab$의 최댓값은 $2$