대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

두 함수 $\displaystyle f ( x ) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}$ , $\displaystyle g ( x ) = \log _{\frac{1}{2}} x$ 에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [4점]

		〈 보 기 〉

	ㄱ. $a > 1$ 이면 $f ( a ) < g ( a )$ 이다. ㄴ. 두 함수 $f ( x )$ , $g ( x )$ 의 그래프의 교점의 좌표가 $( \alpha , \beta )$ 일 때 $\alpha = \beta$ 이다. ㄷ. 양수 $a$ , $b$ 에 대하여 $b < f ( a )$ 이면 $2 a < g \left( b ^{2} \right)$ 이다.

①ㄴ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

$y = g ( x )$ $y = f ( x )$

두 함수 $\displaystyle f ( x ) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}$ , $\displaystyle g ( x ) = \log _{\frac{1}{2}} x$ 는 서로 역함수이므로 그래프는 그림과 같이 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이다. ㄱ. 그래프에서 $a > 1$ 일 때, $f ( a ) > g ( a )$ 이다. (거짓) ㄴ. 두 그래프의 교점은 직선 $y = x$ 위에 있으므로 $\alpha = \beta$ (참) ㄷ. $b < f ( a )$ ⇔ $g ( b ) > a$ ⇔ $2 g ( b ) > 2 a$ ⇔ $2 a < g ( b ^{2} )$ 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

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