대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수·로그 연립부등식

문제

xx에 대한 연립부등식 {4x−2x−2<0log⁡ax+1>0\displaystyle {\begin{cases} 4 ^{x} - 2 ^{x} - 2 < 0 \\ \log _{a} x + 1 > 0 \end{cases}} 을 만족시키는 모든 xx의 값의 범위가 15<x<b\displaystyle \frac{1}{5} < x < b일 때, 두 상수 aa, bb에 대하여 a+ba + b의 값은? (단, a>1a > 1) [3점] ①6\mathrm{6}②7\mathrm{7}③8\mathrm{8}④9\mathrm{9}⑤10\mathrm{10}

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①

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해설

4x−2x−2<04 ^{x} - 2 ^{x} - 2 < 0에서 2x=t(t>0)2 ^{x} = t \left( t > 0 \right)이라 하면 t2−t−2<0t ^{2} - t - 2 < 0, (t+1)(t−2)<0( t + 1 ) ( t - 2 ) < 0 −1<t<2- 1 < t < 2에서 0<t<20 < t < 2 0<2x<20 < 2 ^{x} < 2, x<1x < 1 log⁡ax+1>0\log _{a} x + 1 > 0에서 a>1a > 1이므로 x>1a\displaystyle x > \frac{1}{a}

연립부등식을 만족시키는 모든 xx의 값의 범위가 15<x<b\displaystyle \frac{1}{5} < x < b이므로 a=5a = 5, b=1b = 1 따라서 a+b=5+1=6a + b = 5 + 1 = 6

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