미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지수 로그 극한

문제

[13~14] 함수 f(x)=log⁡2(x+3){f ( x ) = \log _{2} ( x + 3 )}에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

함수 f(x)f ( x )의 역함수를 g(x)g ( x )라 할 때, lim⁡x→0f(x−2)g(x)+2\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{f ( x - 2 )}{g ( x ) + 2}의 값은? [4점] ①(ln⁡2)2( \ln 2 ) ^{2}②ln⁡2\ln 2③11④1ln⁡2\displaystyle \frac{1}{\ln 2}⑤1(ln⁡2)2\displaystyle \frac{1}{( \ln 2 ) ^{2}}

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⑤

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해설

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 극한 이해하기 f(x)=log⁡2(x+3)f ( x ) = \log _{2} ( x + 3 )의 역함수는 g(x)=2x−3g ( x ) = 2 ^{x} - 3이다. ∴\therefore lim⁡x→0f(x−2)g(x)+2=lim⁡x→0log⁡2(x+1)2x−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{f ( x - 2 )}{g ( x ) + 2} = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{\mathrm{\log} _{2} ( \mathit{x} + 1 )}{2 ^{x} - 1} =lim⁡x→0log⁡2(x+1)x×lim⁡x→0x2x−1\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{\mathrm{\log} _{2} ( \mathit{x} + 1 )}{x} \times \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{x}{2 ^{x} - 1} =1ln⁡2×1ln⁡2=1(ln⁡2)2\displaystyle = \frac{1}{\mathrm{\ln} 2} \times \frac{1}{\mathrm{\ln} 2} = \frac{1}{( \mathrm{\ln} 2 ) ^{2}} 따라서 lim⁡x→0f(x−2)g(x)+2=1(ln⁡2)2\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{f ( x - 2 )}{g ( x ) + 2} = \frac{1}{( \mathrm{\ln} 2 ) ^{2}}

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#지수함수 극한#로그함수 극한

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