대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수 조건 식의 값

문제

두 실수 $a$ , $b$ 에 대하여 $\displaystyle 2 ^{\frac{4}{a}} = 100$ , $\displaystyle 25 ^{\frac{2}{b}} = 10$ 이 성립할 때, $2 a + b$ 의 값은? [4점] ① $3$ ② $\displaystyle \frac{13}{4}$ ③ $\displaystyle \frac{7}{2}$ ④ $\displaystyle \frac{15}{4}$ ⑤ $4$

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⑤

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해설

$\displaystyle 2 ^{\frac{4}{a}} = 100$ 에서 $2 ^{4} = 100 ^{a}$ 이므로 $2 ^{4} = 10 ^{2a}$ $\displaystyle 25 ^{\frac{2}{b}} = 10$ 에서 $25 ^{2} = 10 ^{b}$ 이므로 $5 ^{4} = 10 ^{b}$ 지수법칙에 의하여 $10 ^{2 a + b} = 10 ^{2a} \times 10 ^{b}$ $= 2 ^{4} \times 5 ^{4} = 10 ^{4}$ 따라서 $2 a + b = 4$

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