지수 조건 식의 값

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 구한다. $5 ^{2 a + b} \times 5 ^{a - b}$$= 32 \times 2$ $5 ^{\left( 2 a + b \right) + \left( a - b \right)} = 64$ $5 ^{3 a} = 4 ^{3}$ $5 ^{a} = 4$ $5 ^{a - b} = 2$에서 $5 ^{b} = 2$ 이므로 $\displaystyle 4 ^{\frac{1}{a}} = 5$, $\displaystyle 2 ^{\frac{1}{b}} = 5$ 따라서 $\displaystyle 4 ^{\frac{a + b}{ab}}$$\displaystyle = 4 ^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$$\displaystyle = 4 ^{\frac{1}{a}} \times 4 ^{\frac{1}{b}}$$\displaystyle = 5 \times \left( 2 ^{\frac{1}{b}} \right) ^{2}$$= 5 \times 5 ^{2}$$= 125$ [다른 풀이] $2 a + b = \log _{5} 32$ …… ㉠ $a - b = \log _{5} 2$ …… ㉡ ㉠, ㉡에서 $a = \log _{5} 4$, $b = \log _{5} 2$ $\displaystyle \frac{a + b}{ab}$$\displaystyle = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$\displaystyle = \frac{1}{\log _{5} 4} + \frac{1}{\log _{5} 2}$$= \log _{4} 5 + \log _{2} 5$ $= \log _{4} 5 + \log _{4} 25$$= \log _{4} 125$ 따라서 $\displaystyle 4 ^{\frac{a + b}{ab}}$$= 4 ^{\log _{4} 125}$$= 125$