미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지수 점들로 만든 사각형 넓이의 급수

문제

좌표평면에서 자연수 $n$ 에 대하여 점 $\mathrm{P} _{n}$ 의 좌표를 $\left( n , 3 ^{n} \right)$ , 점 $\mathrm{Q} _{n}$ 의 좌표를 $( n , 0 )$ 이라 하자. 사각형 $\mathrm{P} _{n} Q _{n+1} Q _{n+2} P _{n+1}$ 의 넓이를 $a _{n}$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{a _{n}} = \frac{q}{p}$ 이다. $p ^{2} + q ^{2}$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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37

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해설

사각형의 꼭짓점의 좌표를 구하면

그림에서 ${\mathrm{P}} _{n+1}$ 과 ${\mathrm{Q}} _{n+1}$ 의 $x$ 좌표가 같으므로 넓이 $a _{n}$ 은 $\displaystyle \begin{aligned} a _{n} & = \left( \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{P} \mathit{_{n + 1}} \mathrm{Q} \mathit{_{n + 1}}} \times 1 \right) \times 2 & = 3 ^{n + 1} \end{aligned}$ $\displaystyle \therefore \sum\limits _{m=1} ^{\infty} \frac{1}{a _{n}} = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right) ^{n+1}$ $\displaystyle = \frac{\left( \frac{1}{3} \right) ^{2}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{6}$ $\therefore p ^{2} + q ^{2} = 6 ^{2} + 1 ^{2} = 37$

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