대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수 곱과 부분분수

문제

f(n)=a1n\displaystyle f ( n ) = a ^{\frac{1}{n}}(단, a>0a > 0, a≠1a \ne 1) 일 때 f(2⋅3)×f(3⋅4)×⋯×f(9⋅10)=f(k)f ( 2 \cdot 3 ) \times f ( 3 \cdot 4 ) \times \cdots \times f ( 9 \cdot 10 ) = f \left( k \right) 를 만족하는 상수 kk에 대하여 10k10 k의 값을 구하시오. [4점]

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25

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해설

f(2⋅3)f(3⋅4)⋯f(9⋅10)f ( 2 \cdot 3 ) f ( 3 \cdot 4 ) \cdots f ( 9 \cdot 10 ) =a12⋅3⋅a13⋅4⋯a19⋅10\displaystyle = a ^{\frac{1}{2 \cdot 3}} \cdot a ^{\frac{1}{3 \cdot 4}} \cdots a ^{\frac{1}{9 \cdot 10}}=a12⋅3+13⋅4+⋯19⋅10\displaystyle = a ^{\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots \frac{1}{9 \cdot 10}} =a12−13+13−14+⋯+19−110\displaystyle = a ^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{9} - \frac{1}{10}}=a12−110=a410=a25=f(52)\displaystyle = a ^{\frac{1}{2} - \frac{1}{10}} = a ^{\frac{4}{10}} = a ^{\frac{2}{5}} = f \left( \frac{5}{2} \right) ∴ 10k=10⋅52=25\displaystyle 10 k = 10 \cdot \frac{5}{2} = 25

태그

#부분분수#지수법칙

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