지수 등식 순서쌍

[출제의도] 약수의 성질과 지수법칙을 이해하여 순서쌍의 개수 문제를 해결한다. $\displaystyle 64 ^{\frac{1}{m}} = k \times 81 ^{\frac{1}{n}}$에서 양변을 $\displaystyle 81 ^{\frac{1}{n}}$으로 나누면 $k$$\displaystyle = \frac{64 ^{\frac{1}{m}}}{81 ^{\frac{1}{n}}}$$\displaystyle = 2 ^{\frac{6}{m}} \times 3 ^{- \frac{4}{n}}$ 두 밑 $2$와 $3$은 서로소이므로 자연수 $k$가 존재하기 위해서는 밑 $2$의 지수 $\displaystyle \frac{6}{m}$과 밑 $3$의 지수 $\displaystyle - \frac{4}{n}$가 모두 자연수가 되어야 한다. $m$은 $6$의 양의 약수인 $1$, $2$, $3$, $6$이고, $n$은 $4$의 음의 약수인 $- 1$, $- 2$, $- 4$이므로 모든 순서쌍 $( m , n )$은 $\left( 1 , - 1 \right)$, $\left( 1 , - 2 \right)$, $\left( 1 , - 4 \right)$, $\left( 2 , - 1 \right)$, $\left( 2 , - 2 \right)$, $\left( 2 , - 4 \right)$, $\left( 3 , - 1 \right)$, $\left( 3 , - 2 \right)$, $\left( 3 , - 4 \right)$, $\left( 6 , - 1 \right)$, $\left( 6 , - 2 \right)$, $\left( 6 , - 4 \right)$ 따라서 두 정수 $m$, $n$의 모든 순서쌍 $( m , n )$의 개수는 $12$