대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지수 대소 비교

문제

세 양수 aa, bb, cc에 대하여 3a=53 ^{a} = 5, 7b=297 ^{b} = 29, 8c=278 ^{c} = 27일 때, aa, bb, cc의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? [4점] ①a<c<ba < c < b②b<a<cb < a < c③b<c<ab < c < a④c<a<bc < a < b⑤c<b<ac < b < a

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①

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해설

[출제의도] 지수함수의 그래프 추론하기

y=9xy = 9 ^{x} y=8xy = 8 ^{x} y=7xy = 7 ^{x}

(3a)2=9a=25( 3 ^{a} ) ^{2} = 9 ^{a} = 25, 7b=297 ^{b} = 29, 8c=278 ^{c} = 27이고 25<27<2925 < 27 < 29에서 9a<8c<7b9 ^{a} < 8 ^{c} < 7 ^{b}이므로 그림에서 세 양수 a,b,ca , b , c의 대소 관계는 a<c<ba < c < b이다. [다른풀이] (i) 3a=53 ^{a} = 5과 7b=297 ^{b} = 29의 비교 (3a)2=9a=25( 3 ^{a} ) ^{2} = 9 ^{a} = 25, 7b=297 ^{b} = 29에서 9a−7b=25−29<09 ^{a} - 7 ^{b} = 25 - 29 < 0 9a<7b9 ^{a} < 7 ^{b}, 9a<7b<9b9 ^{a} < 7 ^{b} < 9 ^{b} 이므로 9a<9b9 ^{a} < 9 ^{b}이다. 따라서 a<ba < b이다. (ii) 7b=297 ^{b} = 29과 8c=278 ^{c} = 27의 비교 7b=297 ^{b} = 29, 8c=278 ^{c} = 27에서 8c−7b=27−29<08 ^{c} - 7 ^{b} = 27 - 29 < 0 8c<7b8 ^{c} < 7 ^{b}, 8c<7b<8b8 ^{c} < 7 ^{b} < 8 ^{b} 이므로 8c<8b8 ^{c} < 8 ^{b}이다. 따라서 c<bc < b이다. (iii) 3a=253 ^{a} = 25와 8c=278 ^{c} = 27의 비교 (3a)2=9a=25( 3 ^{a} ) ^{2} = 9 ^{a} = 25, 8c=278 ^{c} = 27에서 9a−8c=25−27<09 ^{a} - 8 ^{c} = 25 - 27 < 0 9a<8c9 ^{a} < 8 ^{c}, 9a<8c<9c9 ^{a} < 8 ^{c} < 9 ^{c} 이므로 9a<9c9 ^{a} < 9 ^{c}이다. 따라서 a<ca < c이다. 따라서 (i), (ii), (iii)에 의해 a<c<ba < c < b이다.

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#대소 비교#지수법칙

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