지수 대소 비교

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하여 대소 관계를 구한다. 지수함수 $y = 3 ^{x}$에서 밑이 $3$이므로 $1$보다 크다. 따라서 함수 $y = 3 ^{x}$의 그래프에서 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값도 증가한다. 즉, $m < n$이면 $3 ^{m} < 3 ^{n}$이 성립한다. 주어진 조건에서 $a = 3$, $\displaystyle b = \sqrt[3]{9} = 3 ^{\frac{2}{3}}$ 한편 지수함수의 성질에 의하여 $\displaystyle \frac{2}{3} < 1$이므로 $\displaystyle 3 ^{\frac{2}{3}} < 3 ^{1}$ 따라서 $\displaystyle b = 3 ^{\frac{2}{3}} < 3 ^{1} = a$ $\therefore$$b < a$ $\cdots$㉠ 또, $\displaystyle 0 < \frac{2}{3}$이므로 $\displaystyle 3 ^{0} < 3 ^{\frac{2}{3}}$, 즉 $1 < b$ 따라서 $3 ^{1} < 3 ^{b}$이므로 $a < a ^{b}$ $\cdots$㉡ ㉠, ㉡에 의해 $b < a < a ^{b}$ [다른풀이] 함수 $y = 3 ^{x}$의 그래프와 $y = x$의 그래프를 이용하여 $a$, $b$, $a ^{b}$의 대소 관계를 표현하면 다음과 같다.

$\therefore$$b < a < a ^{b}$