지표와 가수의 배수 조건

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가? 1보다 큰 실수 $x$에 대해 $f ( x ) , g ( x )$는 $\log x$의 지표와 가수이므로 $\log x = f ( x ) + g ( x ) ( \text{단} , f ( x ) \text{는} \text{정수} , 0 \leq g ( x ) < 1 )$ 이때 $3 f ( x ) + 5 g ( x )$의 값이 $10$의 배수이므로 $3 f ( x ) + 5 g ( x ) = 10 k$ (단, $k$는 자연수)로 나타낼 수 있다. 또한, $f ( x )$는 정수이므로 $5 g ( x ) = 10 k - 3 f ( x )$는 정수이고 $0 \leq g ( x ) < 1$ 이므로 $0 \leq 5 g ( x ) < 5$에서 $5 g ( x ) = 0 , 1 , 2 , 3 , 4$이어야 한다 한편, $3 f ( x ) = 10 k - 5 g ( x )$이므로 조건들을 만족시키는 $x$의 값은 자연수 $k$의 값이 작을수록 $5 g ( x )$의 값이 클수록 작아진다. 따라서 $x$의 값을 작은 수부터 구하려면 자연수 $k$는 작은 순서대로, $5 g ( x )$의 값은 큰 순서대로 구하면 된다. (i) $k = 1 , 5 g ( x ) = 4$ 일 때, $3 f ( x ) = 6$ 이므로 $f ( x ) = 2$ $\displaystyle \therefore \log x = 2 + \frac{4}{5} = \frac{14}{5} \text{즉} x = 10 ^{\frac{14}{5}}$ (ii) $k = 1 , 5 g ( x ) = 1$ 일 때, $3 f ( x ) = 9$ 이므로 $f ( x ) = 3$ $\displaystyle \therefore \log x = 3 + \frac{1}{5} = \frac{16}{5} \text{즉} x = 10 ^{\frac{16}{5}}$ (iii) $k = 2 , 5 g ( x ) = 2$ 일 때, $3 f ( x ) = 18$ 이므로 $f ( x ) = 6$ $\displaystyle \therefore \log x = 6 + \frac{2}{5} = \frac{32}{5} \text{즉} x = 10 ^{\frac{32}{5}}$ (iv) $k = 3 , 5 g ( x ) = 3$ 일 때, $3 f ( x ) = 27$ 이므로 $f ( x ) = 9$ $\displaystyle \therefore \log x = 9 + \frac{3}{5} = \frac{48}{5} \text{즉} x = 10 ^{\frac{48}{5}}$ (v) $k = 3 , 5 g ( x ) = 0$ 일 때, $3 f ( x ) = 30$ 이므로 $f ( x ) = 10$ $\therefore \log x = 10 \text{즉} x = 10 ^{10}$ (vi) $k = 4 , 5 g ( x ) = 4$ 일 때, $3 f ( x ) = 36$ 이므로 $f ( x ) = 12$ $\displaystyle \therefore \log x = 12 + \frac{4}{5} = \frac{64}{5} \text{즉} x = 10 ^{\frac{64}{5}}$ 따라서 $x$의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\displaystyle 10 ^{\frac{14}{5}} , 10 ^{\frac{16}{5}} , 10 ^{\frac{32}{5}} , 10 ^{\frac{48}{5}} , 10 ^{10} , 10 ^{\frac{64}{5}}$, ⋯⋯ 이므로 $\displaystyle a = 10 ^{\frac{16}{5}} , b = 10 ^{\frac{64}{5}}$ $\displaystyle \therefore \log ab = \log a + \log b = \frac{16}{5} + \frac{64}{5} = 16$