지표와 가수 연립 조건

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기 (가)에서 $\displaystyle f \left( a \right) + g \left( b \right) = 2 + \frac{1}{4}$이므로 $f \left( a \right) = 2$, $\displaystyle g ( b ) = \frac{1}{4}$ (나)에서 $\displaystyle g ( b ) = \frac{1}{4}$이므로 $g \left( a \right) \ne 0$ 이때 $\displaystyle g \left( \frac{1}{a} \right) = 1 - g \left( a \right)$이므로 $\displaystyle g ( a ) = 1 - g ( a ) + \frac{1}{4}$, 즉 $\displaystyle g ( a ) = \frac{5}{8}$ $\displaystyle \log a = f \left( a \right) + g \left( a \right) = 2 + \frac{5}{8} = \frac{21}{8}$ $\therefore$ $\displaystyle a = 10 ^{\frac{21}{8}}$ (다)에서 $g \left( b \right) \ne 0$이므로 $\displaystyle f \left( \frac{1}{b} \right) = - 1 - f \left( b \right)$, $\displaystyle a ^{5} = 10 ^{\frac{105}{8}} = 10 ^{13 + \frac{1}{8}}$에서 $f ( a ^{5} ) = 13$이므로 $f \left( b \right) = - 1 - f \left( b \right) + 13$, 즉 $f \left( b \right) = 6$ $\displaystyle \log b = f \left( b \right) + g \left( b \right) = 6 + \frac{1}{4} = \frac{25}{4}$ $\therefore$ $\displaystyle b = 10 ^{\frac{25}{4}}$ $\therefore$ $\displaystyle ab = 10 ^{\frac{21}{8} + \frac{25}{4}} = 10 ^{\frac{71}{8}}$ 따라서 $m + n = 79$