지표와 가수 조건의 극한

[출제의도] 지표와 가수의 정의를 이용하여 극한값을 구할 수 있는가? $\log x$의 지표와 가수가 각각 $f ( x )$, $g ( x )$이므로 $\log x = f ( x ) + g ( x ) ( f ( x )$는 정수, $0 \leq g ( x ) < 1 )$ $f ( x ) - ( n + 1 ) g ( x ) = n$ $f ( x ) - n = ( n + 1 ) \cdot g ( x )$ …… ㉠ $0 \leq g ( x ) < 1$이므로 $0 \leq f ( x ) - n < n + 1$ $n \leq f ( x ) < 2 n + 1$ $f ( x )$는 정수이므로, $n$, $n + 1$, $\cdots$, $2 n$이고, 식 ㉠에 대입하면 $f ( x ) = n$일 때 $g ( x ) = 0$ $\therefore \log x = n$ $f ( x ) = n + 1$일 때 $\displaystyle g ( x ) = \frac{1}{n + 1}$ $\displaystyle \therefore \log x = n + 1 + \frac{1}{n + 1}$ ⋮ $f ( x ) = n + k$일 때 $\displaystyle g ( x ) = \frac{k}{n + 1}$ $\displaystyle \therefore \log x = n + k + \frac{k}{n + 1}$ ⋮ $\displaystyle \therefore a _{n} = 10 ^{n} \times 10 ^{n + 1 + \frac{1}{n + 1}} \times \cdots \times 10 ^{n + k + \frac{k}{n + 1}} \times \cdots \times 10 ^{2 n + \frac{n}{n + 1}}$ $\displaystyle \therefore \log a _{n} = \sum\limits _{k=0} ^{n} \left( n + k + \frac{k}{n + 1} \right)$ $\displaystyle = n ( n + 1 ) + \frac{n ( n + 1 )}{2} + \frac{n ( n + 1 )}{2 ( n + 1 )}$ $\displaystyle = \frac{3 n ^{2} + 3 n}{2} + \frac{n}{2}$ $\displaystyle = \frac{3 n ^{2} + 4 n}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\log a _{n}}{n ^{2}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n ^{2} + 4 n}{2 n ^{2}} = \frac{3}{2}$