지표와 가수 조건

[출제의도] 수열 및 상용로그의 지표와 가수 문제 해결하기 $f \left( a \right) = n$이라 하면 $\displaystyle n = f \left( a \right) \leq f \left( \sqrt[10]{10} a \right) \leq f \left( \sqrt[10]{10 ^{2}} a \right) \leq f \left( \sqrt[10]{10 ^{3}} a \right) \leq \cdots$$\displaystyle \leq f \left( \sqrt[10]{10 ^{9}} a \right) \leq f \left( \sqrt[10]{10 ^{10}} a \right) = n + 1$ 이고 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} f \left( \sqrt[10]{10 ^{k}} a \right) = 94$이므로 $\displaystyle f \left( \sqrt[10]{10} a \right) = f \left( \sqrt[10]{10 ^{2}} a \right) = f \left( \sqrt[10]{10 ^{3}} a \right) = \cdots = f \left( \sqrt[10]{10 ^{6}} a \right) = 9$, $\displaystyle f \left( \sqrt[10]{10 ^{7}} a \right) = f \left( \sqrt[10]{10 ^{8}} a \right) = f \left( \sqrt[10]{10 ^{9}} a \right) = f \left( \sqrt[10]{10 ^{10}} a \right) = 10$ 이다. 그러므로 $\displaystyle 9 \leq \frac{1}{10} + \log a < 10$ ………① $\displaystyle 9 \leq \frac{2}{10} + \log a < 10$ ……… ② $\vdots$ $\displaystyle 9 \leq \frac{6}{10} + \log a < 10$ ……… ⑥ $\displaystyle 10 \leq \frac{7}{10} + \log a < 11$ ……… ⑦ $\vdots$ $\displaystyle 10 \leq \frac{10}{10} + \log a < 11$ ……… ⑩ 이다. 이 $10$개의 부등식은 ⑥, ⑦만 연립하면 충분하다. 따라서 $9.3 \leq \log a < 9.4$이므로 $0.3 \leq g \left( a \right) < 0.4$이고 $30 \leq 100 g \left( a \right) < 40$이다. 그러므로 $M + m = 39 + 30 = 69$이다.