지표와 가수 조건

(가)에서 $3$은 한 자리의 양의 정수이므로 $f ( 3 ) = 0$, $2011$은 네 자리의 양의 정수이므로 $f ( 2011 ) = 3$ $f ( n ) = 1$ 또는 $f ( n ) = 2$이다. (나)에서 주어진 식의 좌변을 인수분해하면 $\left\{ g ( n ) - \log 2 \right\} \left\{ g ( n ) - \log 5 \right\} < 0$ ∴ $\log 2 < g ( n ) < \log 5$ 이때 $\log n = f ( n ) + g ( n )$이므로 ⅰ) $f ( n ) = 1$일 때 $1 + \log 2 < f ( n ) + g ( n ) < 1 + \log 5$ ∴ $\log 20 < \log n < \log 50$ 따라서 양의 정수 $n$은 $21 , 22 , \cdots , 49$로 $29$개다. ⅱ) $f ( n ) = 2$일 때 $2 + \log 2 < f ( n ) + g ( n ) < 2 + \log 5$ ∴ $\log 200 < \log n < \log 500$ 따라서 양의 정수 $n$은 $201 , 202 , \cdots , 499$로 $299$개다. ⅰ), ⅱ)에 의하여 양의 정수 $n$의 개수는 $29 + 299 = 328$이다.