대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지표와 가수 조건

문제

다음 두 조건을 모두 만족시키는 모든 양의 실수 xx의 곱은? (단, [x]\left[ x \right]는 xx보다 크지 않은 최대정수이다.) [3점]

(가) [log⁡x]=[log⁡365]\left[ \log x \right] = \left[ \log 365 \right] (나) log⁡x3−[log⁡x3]=log⁡1x−[log⁡1x]\displaystyle \log x ^{3} - \left[ \log x ^{3} \right] = \log \frac{1}{x} - \left[ \log \frac{1}{x} \right]

①10910 ^{9}②10192\displaystyle 10 ^{\frac{19}{2}}③101010 ^{10}④10212\displaystyle 10 ^{\frac{21}{2}}⑤101110 ^{11}

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②

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해설

[출제의도] 지표와 가수의 성질을 이해하기 (가) [log⁡x]=[log⁡365]=2\left[ \log x \right] = \left[ \log 365 \right] = 2에서 2≤log⁡x<32 \leq \log x < 3이다. (나) log⁡x3\log x ^{3}과 log⁡1x\displaystyle \log \frac{1}{x}의 가수가 같으므로 log⁡x3−log⁡1x=4log⁡x\displaystyle \log x ^{3} - \log \frac{1}{x} = 4 \log x는 정수이다. 8≤4log⁡x<128 \leq 4 \log x < 12이므로 4log⁡x=8,9,10,114 \log x = 8 , 9 , 10 , 11이다. 따라서 x=102,1094,1052,10114\displaystyle x = 10 ^{2} , 10 ^{\frac{9}{4}} , 10 ^{\frac{5}{2}} , 10 ^{\frac{11}{4}}이므로 모든 양의 실수 xx의 곱은 102+94+52+114=10192\displaystyle 10 ^{2 + \frac{9}{4} + \frac{5}{2} + \frac{11}{4}} = 10 ^{\frac{19}{2}}이다.

태그

#상용로그#지표#가수

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