지표와 가수 합

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학내적 문제 해결하기 $2$이상의 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \log \frac{10 ^{n}}{x} = n - \log x = n - \left( f ( x ) + g ( x ) \right)$ i) $g ( x ) = 0$일 때 $\displaystyle f \left( \frac{10 ^{n}}{x} \right) = n - f ( x )$, $\displaystyle g \left( \frac{10 ^{n}}{x} \right) = 0$이므로 $n - f ( x ) = 0$ 따라서 $f ( x ) = n$이므로 $\log x = n$ ii) $0 < g ( x ) < 1$일 때 $\displaystyle f \left( \frac{10 ^{n}}{x} \right) = n - f ( x ) - 1$, $\displaystyle g \left( \frac{10 ^{n}}{x} \right) = 1 - g ( x )$이므로 $n - f ( x ) - 1 = \left( 1 - g ( x ) \right) ( n - 1 )$ 따라서 $f ( x ) = g ( x ) ( n - 1 )$이므로 $\log x = n g ( x )$ $0 < ( n - 1 ) g ( x ) < n - 1$ $( n - 1 ) g ( x ) = 1 , 2 , \cdots , n - 2$ $\displaystyle g ( x ) = \frac{1}{n - 1} , \frac{2}{n - 1} , \cdots , \frac{n - 2}{n - 1}$ $\displaystyle \log x = \frac{n}{n - 1} , \frac{2 n}{n - 1} , \cdots , \frac{( n - 2 ) n}{n - 1}$ i), ii)에서 $\displaystyle \log a _{n} = \frac{n}{n - 1} + \frac{2 n}{n - 1} + \cdots + \frac{( n - 2 ) n}{n - 1} + n$ $\displaystyle = \frac{n}{n - 1} \left\{ 1 + 2 + \cdots + ( n - 1 ) \right\}$ $\displaystyle = \frac{n}{n - 1} \cdot \frac{( n - 1 ) n}{2} = \frac{n ^{2}}{2}$ 그러므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{10} \log a _{n} = \sum\limits _{n = 2} ^{10} \frac{n ^{2}}{2} = 192$